Método de Euler

Como integrar aproximadamente uma equação diferencial ordinária:

com condição inicial

  

Se soubéssemos a solução   na vizinhança de poderíamos desenvolvê-la em série de Taylor e guardar apenas o termo linear em

Como , podemos escrever

A seguir assumimos que e usamos para deduzir que

pelo que

Em geral chegamos à expressão

Como exemplo vejamos o caso de :

Uma solução exacta existe para esta equação separável com condição inicial :

A função é definida aqui porque é necessário especificar que um subconjunto de definições atribuídas ao símbolo devem ser . Todas as definições de funções como são atribuídas a . Fazer apagaria mais do que seria desejável...

Nas definições que implementam o método de Euler simples, as atribuições da forma criam uma memória dos valores já calculados para à medida que é invocado para valores específicos de . Da próxima vez que for invocado com , não é recalculado, e o  memorizado é devolvido.  A seguir implementa um dos valores calculados para instantes .

O método de Euler melhorado

Notando que o integral da equação diferencial entre instantes e é a área sob  

poderíamos dar uma melhor aproximação desta área fazendo

Resta agora substituir no lado direito por uma primeira aproximação, que pode ser , donde temos

A implementação do método melhorado é semelhante à anterior:

A comparação dos dois métodos é feita sobrepondo os gráficos e .

Método de Runge-Kutta

Usando o método de Euler, faz-se uma estimativa do ponto a meio do passo , i.e. no instante .

O valor da derivada aí é aproximado por . Usando esta derivada para substituir no método de Euler obtém-se um novo ponto

Este método tem erros de ordem .  De facto, da expansão em série de na vizinhança de obtém-se

i.e. . Substituindo na expressão

conclui-se que

O método de Runge-Kutta de 4ª ordem deriva da mesma idéia fazendo mais passos intermédios

Runge-Kutta Adaptativo

Para adaptar o passo às necessidades de precisão pode-se usar a seguinte técnica: cada etapa do cálculo é efectuada uma segunda vez com dois passos de , i.e . Sendo um método de 4ª ordem, os erros nas aproximações são

A diferença entre e dá uma estimativa do erro de truncação cometido

Assim é de esperar que, para passos diferentes e se obtenha uma relação entre passo e erro que se comporta como

Assim, quando é a precisão desejada, se o erro cometido no passo   é então o cálculo de deve ser repetido com passo .
Se pelo contrário , então o próximo ponto pode ser calculado com um passo maior  .