2ª Aula Prática de TFCOMP-II

Comecem por criar e guardar em disco um Notebook com o nome TFC2_grupo.nb, onde 'grupo' é o nome do vosso grupo de trabalho. Neste Notebook criem uma célula de título identificando os elementos constituintes do grupo (nome, número e contactos).

Use a função nativa Date[] para gerar uma função data que imprima no Notebook a data de cada dia em que for avaliada, no formato compatível com, por exemplo: \(TraditionalForm\`Quinta, \ 22\ de\ Mar, \ 2001\ às\ 17 : 19\). Guarde essa definição num documento "data.m" donde possa carregar a definição em qualquer altura que o deseje.

Redefina a função nativa Log[x] de forma que, quando avaliada, execute as regras usuais, por exemplo  Log[((a  b)/(c^n))]->Log[a]+Log[b]-n Log[c]. Como faria para implementar a transformação inversa agora?

Crie versores  (Subscript[e, r]),  (Subscript[e, ϕ]),  (Subscript[e, θ]) formando uma base ortogonal para o sistema de coordenadas polares esféricas em (ℝ^3). A partir destes defina a matriz A que transforma os versores (Subscript[e, x]), (Subscript[e, y]) e  (Subscript[e, z])do sistema cartesiano de coordenadas nos versores das coordenadas polares esféricas. Mostre que esta matriz A é ortogonal, i.e. (A^(-1)) = (A^T)(matriz transposta). Verifique que o determinante de A é unidade e que as linhas e colunas formam vectores ortogonais entre si.

Mostre explícitamente que o ângulo formado por dois vectores ae b em (ℝ^3), bem como a magnitude de cada, é invariante para a transformação A definida no problema anterior (de facto isso é uma propriedade de todas as transformações ortogonais!)

Use as funções matriciais nativas do Mathematica para determinar, dada qualquer matriz Mnão singular, a matriz de transformação S que diagonaliza M, i.e. D = S . M . (S^T) é diagonal. Crie uma função  exp[M] para calcular a exponencial duma matriz a partir desta transformação (note que no referencial emque M é diagonal a exponenciação é trivial). Confirme o resultado obtido com a função nativa MatrixExp[M].