3ª Aula Prática de TFCOMP-II

• Numa transformação de coordenadas cartesianas  para novas coordenadas , o Jacobiano da transformação determina em que regiões é possível inverter a transformação, i.e. obter  em função de . Construa uma função  para uma transformação de coordenadas de , com  arbitrário, cujo efeito seja como, por exemplo no caso de coordenadas polares no plano: .

Use  e  para avaliar explícitamente este Jacobiano.
Use esta técnica para construir o Jacobiano das seguintes transformações de coordenadas, de cartesianas para

 

Coordenadas Esféricas:

Coordenadas Parabólicas:

Verifique em que pontos o Jacobiano é singular. Obtenha a forma inversa da transformação onde isso é possível.

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Se designarmos por  o vector posição de um ponto, calcule os vectores  para cada uma das transformações de coordenadas anteriores,( i.e. fazendo  e ).


Qual é o significado destes vectores? Use a função  do Mathematica para visualizar as linhas coordenadas para os dois sistemas acima mencionados.

Mostre que  onde as funções de escala são as magnitudes dos vectores . Calcule os diferenciais de uma função  e do vector  nas novas coordenadas  e use identidades vectoriais como  para deduzir a expressão para o operador nestas coordenadas.

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Quando  funções diferenciáveis são linearmente independentes as únicas constantes que verificam  são as que são todas iguais a zero. Derivando  vezes esta equação, obtém-se um sistema linear , onde a -matriz Wronskiana  condiciona a existência de soluções não triviais e portanto a independência dos . Construa uma função  que seja o Wronskiano dum sistema  de  funções, com  arbitrário. Use-a para demonstrar a independência dos seguintes sistemas:


 

 

(a)

(b)

(c)

Considere a equação de ondas  onde . Usando o Mathematica, exprima esta equação em termos de novas coordenadas

(a)

,

(b)

,

(c)

,

Calcule os pontos onde estas transformações deixam de ser válidas e quais as consequências para a equação transformada.