4ª Aula Prática de TFCOMP-II

Comecem por criar e guardar em disco um Notebook com o nome TFC4_grupo.nb, onde 'grupo' é o nome do vosso grupo de trabalho. Neste Notebook criem uma célula de título identificando os elementos constituintes do grupo (nome, número e contactos).

Mostre que a parte real e a parte imaginária de Sin[z] satisfazem a equação de Laplace em duas dimensões \(TraditionalForm\`∂\_\(x, x\)Ψ + ∂\_\(y, y\)Ψ == 0\), onde z = 
        x + i y  ∈ ℂ e (x | y)∈ℝ. Construa uma imagem da transformação do plano complexo ℂ usando por exemplo a função Graphics`PolarPlot  para observar a transformação de linhas coordenadas.

Considere o  campo (Overscript[F, ⇀])[x, 
          y] = (e^(-(x^2) - (y^2))) ((x - (x^3) + 
                    x (y^2)) (Subscript[(Overscript[e, ⇀]), x]) - 
              y (1 + (x^2) - (y^2)) (Subscript[(Overscript[e, ⇀]), y])). Construa operadores diferenciais gradiente grad,  divergencia div, e rotacional rot e calcule o seu efeito sobre (Overscript[F, ⇀])[x, y]. 
Verifique se (Overscript[F, ⇀])[x, y] é conservativa e determine, se for caso disso, o respectivo potencial V[x, y]. 
Faça uma animação usando as funcionalidades de Graphics`Arrow, representando o cálculo do trabalho realizado ao longo dum caminho fechado.

Assumindo que um condutor filifrome Γ  é parametrizado por \(γ : ℐ ⊂ ℝ -> ℝ\^3\), um ponto do  condutor fica definido por (OverVector[r])[s]=γ[s] e um segmento do condutor por \(d\(ℓ\& ⇀ \)\)=d(OverVector[r])(𝓈)=((d (OverVector[r])(𝓈))/(\(d𝓈\)))d𝓈. Então um  integral de caminho sobre Γ≡γ[ℐ]é  definido por 
                                                            (∫_Γ) 𝒻( (OverVector[r]),d(Overscript[ℓ,  ⇀])  )≡ (∫_ℐ)𝒻((OverVector[r])(𝓈),((d (OverVector[r])(𝓈))/(\(d𝓈\))))d𝓈

onde 𝒻((OverVector[r]),\(d\(ℓ\& ⇀ \)\)) é  uma função (escalar ou vectorial)  LINEAR em d(Overscript[ℓ,  ⇀])  .
Use estas definições para determinar o campo de uma distribuição linear e uniforme de carga,  com densidade λ (C/m). Faça um gráfico representando este campo, usando para isso as funcões de Graphics`PlotField.

Considere uma carga Q que entra com velocidade (Subscript[(Overscript[v, ⇀]), o]) no campo da distribuição linear de carga do problema anterior. Determine e resolva as equações de movimento da carga. Faça uma animação representando a trajectória da carga e a variação das linhas de campo eléctrico resultante da sobreposição dos campos presentes à medida que a carga se desloca num plano horizontal, assumindo que (Subscript[(Overscript[v, ⇀]), o]) é também um vector nesse plano.

Use a função nativa Integrate e a partir da Lei de Biot-Savart

                                                            (OverVector[B])[(OverVector[r])] =((Subscript[μ, o])/(4  π))I(∮_γ)  (1/((|(OverVector[r])-(OverVector[l])|)^2))d(OverVector[l])×((((OverVector[r])-(OverVector[l]))/(|(OverVector[r])-(OverVector[l])|))) 
                                                            
determine o campo magnético (Overscript[B,  ⇀]) [(Overscript[r,  ⇀]) ] de um condutor rectilíneo infinito com uma corrente Ι=2 A passando pela origem na direcção (Subscript[((Overscript[e,  ⇀]) ), z]). Faça gráficos que ajudem a visualizar este campo.