7ª Aula Prática de TFCOMP-II

Comecem por criar e guardar em disco um Notebook com o nome TFC7_grupo.nb, onde 'grupo' é o nome do vosso grupo de trabalho. Neste Notebook criem uma célula de título identificando os elementos constituintes do grupo (nome, número e contactos).

Problema 1

Usando as funções nativas FourierTransform  (e suas variações)  e as funcionalidades de Calculus`FourierTransform`calcule as expressões e  crie uma tabela de gráficos de pares função⟷transformada para as seguintes funções periódicas.

({{f[x]=|({{1, 0 < x < π}, {-1, -π < x < 0}})|, f[x]=({{|x|, \(\(-π\) < x < π\)}}), f[x]=({{x, -π < x < π}}), f[x]=({{|Cos[
                        x]|, -π < 
                      x < π}})}})

Problema 2

Usando as funções nativas FourierTransform  (e suas variações)  e as funcionalidades de Calculus`FourierTransform`calcule as expressões e  crie uma tabela de gráficos de pares função⟷transformada para as seguintes funções em (Subscript[ℒ, 2])[ℝ]:

({{\(f[x] = 
              c\ e\^\(\(-κ\) |x|\)\), f[x] = 
              c (e^(-κ (((x - a))^2))), f[x]=|({{c Cos[κ x], \(|x| < a\)}, {0, resto}})|, f[x]=|({{c, L - 
                          a < |x| < 
                        L + a}, {0, resto}})|}})

Problema 3

Interpretando cada uma das funções do problema anterior como uma amplitude de probabilidade, pode-se definir um valor médio \(TraditionalForm\`x\&_ = ∫x\ Ψ[
              x] dx\) e uma variância \(TraditionalForm\`σ\^2 = ∫\(\((x - 
                    x\&_)\)\^2\) Ψ[x] dx\) onde Ψ[x] = f[x]^2. Estude para cada um dos casos do problema anterior a relação entre uma noção de localização da função original em x e da localização no espectro de frequências para a sua transformada de Fourier, fazendo variar os parâmetros a e κ.  Faça animações mostrando efeito de localizar e deslocar a função no seu espectro de frequências.

Problema 4

Para analisar uma  função f[x]com a função nativa Fourier é necessário discretizar f num intervalo e fornecer uma lista de valores. Construa um operador  Sample[𝒻, n, ℐ] para a discretização de uma função 𝒻 (x) num intervalo ℐ = [(Subscript[x, min]), 
        (Subscript[x, max])], utilizando Ν = (2^n) pontos, cujos produtos são:

                              ({{Cdata, Lista de (2^n) valores complexos 𝒻[
                      (Subscript[x, i])]}, {ny, Frequencia de Nyquist    =  (1/2) sr}, {sr, \(Taxa\ de\ Amostragem\ \ \ \ \ \  = \ Ν\/\(x\_max - x\_min\)\)}, {Δx, \(Resolução\ da\ Amostragem\  = \ \(x\_max - x\_min\)\/Ν\)}})

Construa ainda um operador SampleWindow[ny_, ns_, xo_:  0] que determina o intervalo {(Subscript[x, min]), (Subscript[x, max])} centrado em xo dada a frequência de Nyquist ny e o números de pontos da amostragem ns. Utilize estes operadores para fazer a análise duma das funções do problema 2 e compare os resultados numéricos com os analíticos.