Comecem por criar e guardar em disco um Notebook com o nome TFC2_grupo.nb, onde 'grupo' é o nome do vosso grupo de trabalho. Neste Notebook criem uma célula de título identificando os elementos constituintes do grupo (nome, número e contactos).

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Use a função nativa  para gerar uma função  que imprima no Notebook a data de cada dia em que for avaliada, no formato compatível com, por exemplo: . Guarde essa definição num documento "data.m" donde possa carregar a definição em qualquer altura que o deseje.

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Redefina a função nativa  de forma que, quando avaliada, execute as regras usuais, por exemplo . Como faria para implementar a transformação inversa agora?

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Crie versores  formando uma base ortogonal para o sistema de coordenadas polares esféricas em . A partir destes defina a matriz  que transforma os versores ,  e do sistema cartesiano de coordenadas nos versores das coordenadas polares esféricas. Mostre que esta matriz  é ortogonal, i.e. (matriz transposta). Verifique que o determinante de  é unidade e que as linhas e colunas formam vectores ortogonais entre si.

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0

0

	0

Mostre explícitamente que o ângulo formado por dois vectores e  em , bem como a magnitude de cada, é invariante para a transformação  definida no problema anterior (de facto isso é uma propriedade de todas as transformações ortogonais!)

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Use as funções matriciais nativas do Mathematica para determinar, dada qualquer matriz não singular, a matriz de transformação  que diagonaliza , i.e.  é diagonal. Crie uma função  para calcular a exponencial duma matriz a partir desta transformação (note que no referencial emque  é diagonal a exponenciação é trivial). Confirme o resultado obtido com a função nativa .

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A matriz é não-singular

representa o conjunto  para 

A matriz  cujas colunas são os vectores próprios de  transforma uma base numa em que os vectores são esses vectores próprios de .

Os  valores próprios de  também são dados por 

A matriz diagonal  cujas entradas são os valores próprios  obtém-se simplesmente de

Note agora que , por exemplo

A função  tem um desenvolvimento em série muito familiar

Se  for substituído por , então é fácil de ver que

ou seja, factorizando  e 

Assim  reduz-se a calcular  para a matriz diagonal , o que é ainda uma matriz diagonal com entradas iguais à exponencial das de , e multplicar tudo à direita e à esquerda por e .