Solução

Nota: O é aqui incluido para acertar com a convenção a que se habituaram, dando uma notação diferente da que é pedida no enunciado. Para efeitos do cálculo a convenção que se adopta é irrelevante.

Coordenadas Esféricas

Pontos Singulares

Isto significa que a transformação para coordenadas esféricas deixa de ser unívoca para pontos no eixo dos .

Coordenadas Parabólicas

O gráfico das curvas coordenadas ,  , e , mostra como estas coordenadas formam um sistema ortogonal.  As primeiras são simplesmente circunferências horizontais com centro sobre o eixo dos . As superfícies   são planos verticais passando pelo eixo dos . Em cada um desses planos as curvas coordenadas   e   são parábolas  com foco na origem, semi-eixo  na direcção positiva e negativa, respectivamente, e distância focal ou  ,  conforme ou é constante. A distância do foco ao vértice é e a excentricidade é igual a .

Gráfico de linhas coordenadas e , num plano vertical passando pelo eixo dos

Gráfico da transformação de coordenadas cartesianas num plano vertical passando pelo eixo dos , mostrando linhas coordenas e .