Corpo Rígido

Corpo rígido é toda a distribuição de massa tal que a distância   entre dois pontos materiais se mantém constante .

Teorema de Chasles: O movimento mais geral de um corpo rígido pode sempre ser decomposto   numa rotação em torno de um eixo sobreposta a uma translacção paralela a esse eixo.

Os problemas interessantes são aqueles em que um ponto do corpo rígido está fixo, ou aqueles em que o movimento pode ser separável numa translacção do e uma rotação em torno do fixo. Em qualquer dos casos, a descrição do movimento do corpo com um ponto fixo (que se toma por origem)  implica que a distância de cada ponto material do corpo rígido à origem se mantém constante, além de, entre dois pontos do corpo rígido, A primeira condição implica que, para cada ponto existe um vector , perpendicular a , tal que . A segunda condição implica que

i.e. a diferença é um vector do plano formado por e , o que se exprime por

A única possibilidade compatível com o facto de que ,  é que   ou seja

Escolha-se no corpo e três direcções ortogonais , de forma que , sejam ainda pontos do corpo rígido. Então qualquer ponto do corpo verifica também quando e , i.e.

Assim , onde não depende de .  Da condição   deduz-se que . Como não depende da escolha de nem das direcções , também não pode depender, e podemos pôr .

Existe assim um vector único , designado a velocidade angular do corpo rígido, cuja componente ortogonal a é o vector para todos os pontos do corpo.

Todos os pontos de um corpo rígido, e todos os referenciais ligados a um corpo rígido, rodam com a mesma velocidade angular (quando subtraída a translacção global) em torno dum eixo que passa pelo ponto fixo e é paralelo a .

O momento angular de um corpo rígido que roda com um ponto fixo na origem pode escrever-se
                     
onde é o tensor de inércia relativamente a um sistema de eixos fixo em . Quando esse sistema de eixos é tal que é diagonal, os eixos designam-se eixos principais de inércia relativamente ao ponto . As direcções dos eixos principais de inércia são definidas pelos vectores próprios da matriz .

A energia cinética dum corpo rígido rodando com um ponto fixo é

Quando o corpo rígido roda com um ponto fixo sujeito a um momento de força externo verifica-se
                                                                   

Equações de Euler: Visto dum referencial de eixos principais de inércia que rodam com o corpo estas equações são
                                                                  
onde , e .

Se um corpo rígido estiver inicialmente a rodar em torno de um eixo principal de inércia, então   e o momento angular é paralelo a . Frequentemente acontece que , (e.g. pião simétrico) e nessas alturas o momento angular é um vector de magnitude constante porque . Existe então um vector , denominado velocidade angular de precessão, que define , e neste caso a variação do momento angular escreve-se
                                                                         

O momento angular da bússola giroscópica em relação ao seu centro de massa () é sempre horizontal. As forças de flutuação exercem um binário também horizontal, de forma que é vertical e qualquer que seja a orientação inicial de , a precessão indicada por roda o momento angular no sentido do Norte geográfico excepto se estiver no equador a apontar para Norte, caso em que e não há qualquer variação em .

Quando o corpo rígido roda com um ponto fixo mas sujeito a um momento de força externo ,  então usando a decomposição podemos deduzir, do facto de ser um ponto fixo do corpo rígido e , que existe um vector tal que .

  ⟹     ou seja:

Assim, um pião perde momento de spin se houver forças de atrito no ponto fixo porque embora .

Visto dum referencial que roda com a velocidade angular de precessão , o momento angular deve ser .  A sua variação temporal será