Problemas a dois corpos

Equação de movimento para dois corpos

ou    onde é a massa reduzida do sistema, e a massa total.

Movimento relativo ⟺ Movimento da massa μ num campo potencial :  

Como o campo de Força é central,   é constante ⟹

Usando coordenadas cilíndricas com

  ⟹    

Equação segundo ϑ  ⟺ Conservação de

   ou   

Equação segundo r ⟺ movimento num potencial efectivo

Substituíndo na equação de movimento radial    a velocidade angular pela sua expressão chega-se à equação diferencial  do movimento radial da massa reduzida μ

Reparametrizando a dependência temporal de em termos de ϑ,

   ⟹   

Obtemos assim uma equação para fácilmente integrável em ϑ

    ⟹  

1ª Lei de Kepler: Os planetas descrevem órbitas elípticas com o Sol num dos focos.

Cónicas: a razão entre a distância ao foco e a distância à directriz é constante e chama-se excentricidade .

Assumindo e escrevendo obtém-se esta solução na forma da equação de uma cónica de excentricidade     

Quando ,   não pode nunca ser infinito, porque aí  . A órbita é uma elipse.
Para , as órbitas são abertas (parábola e  hipérboles )

Para obter a distância mínima e máxima ao foco da cónica resolve-se, como sempre, a derivada , o que óbviamente, no caso da elipse, deve indicar , e  .
Consequentemente o semi-eixo maior deve ser .
Para obter o semi-eixo menor note que e que  , e portanto

  .

2ª Lei de Kepler: Um planeta varre áreas iguais em tempos iguais.

  ⟹    é constante.

3ª Lei de Kepler: O quadrado do período duma órbita é proporcional ao cubo do semi-eixo maior (ou ao cubo da distância média ao Sol)

Área duma elipse:
Período da órbita:    ⟹  
Conservação de Energia em e (onde ):  

  ⟹   

Análise qualitativa das órbitas baseada em

A energia total da massa reduzida μ no campo de quando o sistema tem momento angular pode escrever-se

Os movimentos possíveis com momento angular são finitos se (porque ), e infinitos se (porque ).  Como é evidente, e são pontos em que e aí .

Quando a órbita do sistema é circular de raio . Neste caso, em todos os pontos da órbita , e a energia cinética é constante bem como a energia potencial gravítica .