3ª Aula Prática de TFCOMP-II

Comecem por criar e guardar em disco um Notebook com o nome TFC3_grupo.nb, onde 'grupo' é o nome do vosso grupo de trabalho. Neste Notebook criem uma célula de título identificando os elementos constituintes do grupo (nome, número e contactos).

Numa transformação de coordenadas cartesianas para novas coordenadas , o Jacobiano da transformação determina em que regiões é possível inverter a transformação, i.e. obter em função de . Construa uma função para uma transformação de coordenadas de , com arbitrário, cujo efeito seja como, por exemplo no caso de coordenadas polares no plano: . Use e para avaliar explícitamente este Jacobiano.
Use esta técnica para construir o Jacobiano das seguintes transformações de coordenadas, de cartesianas para

Coordenadas Esféricas :           Coordenadas Parabólicas:

Verifique em que pontos o Jacobiano é singular. Obtenha a forma inversa da transformação onde isso é possível.

Se designarmos por o vector posição de um ponto, calcule os vectores para cada uma das transformações de coordenadas anteriores,( i.e. fazendo e ).

Qual é o significado destes vectores? Use a função do Mathematica para visualizar as linhas coordenadas para os dois sistemas acima mencionados.

Mostre que onde as funções de escala são as magnitudes dos vectores . Calcule os diferenciais de uma função e do vector nas novas coordenadas e use identidades vectoriais como para deduzir a expressão para o operador nestas coordenadas.

Quando funções diferenciáveis são linearmente independentes as únicas constantes que verificam são as que são todas iguais a zero. Derivando vezes esta equação, obtém-se um sistema linear , onde a  -matriz Wronskiana condiciona a existência de soluções não triviais e portanto a independência dos . Construa uma função que seja o Wronskiano dum sistema  de   funções, com arbitrário. Use-o para demonstrar a independência dos seguintes sistemas:

(a)    

(b)    

(c)    

Considere a equação de ondas   onde . Usando o Mathematica, exprima esta equação em termos de novas coordenadas
(a)    

,

(b)    

,

(c)    

,

Calcule os pontos onde estas transformações deixam de ser válidas e qual as consequências para a equação transformada?